Table des Matières
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Tout en effectuant le pivot dans une procédure d'élimination de matrice, vous
pouvez davantage améliorer la solution numérique en sélectionnant comme
pivot l'élément ayant la plus grande valeur absolue dans la colonne et la ligne
concernées. Cette opération peut nécessiter de permuter non seulement des
lignes mais aussi des colonnes dans certaines opérations de pivot. Lorsque des
permutations de lignes et de colonnes sont autorisées dans le pivot, la
procédure est appelée pivot complet.
Lorsque l'on échange des lignes ou des colonnes lors d'un pivot partiel ou
complet, il est nécessaire de bien suivre les permutations parce que l'ordre des
inconnues dans la solution est altéré par ces permutations. Une façon de ne pas
se perdre dans les permutations de colonnes lors d'une procédure de pivot
partiel ou complet consiste à créer une matrice de permutation P = I
début de la procédure. Toute permutation de ligne ou de colonne exigée dans
la matrice augmentée A
permutation de ligne ou de colonne dans la matrice de permutation. Une fois
que la solution a été obtenue, nous multiplions la matrice de permutation par le
vecteur des inconnues x afin d'obtenir l'ordre des inconnues dans la solution.
En d'autres termes, la solution finale est donnée par P⋅x = b', où b' est la
dernière colonne de la matrice augmentée après que la solution a été trouvée.
Exemple d'élimination de Gauss-Jordan avec pivot complet
Illustrons le pivot complet par un exemple. Résoudre le système d'équations
suivant en utilisant le pivot complet et la procédure d'élimination de Gauss-
Jordan :
La matrice augmentée et la matrice de permutation se présentent comme suit :
est aussi consignée respectivement comme
aug
X + 2Y + 3Z = 2,
2X +
8X +16Y- Z = 41.
1
2
⎡
⎢
A
=
2
0
⎢
aug
⎢
8
16
⎣
3Z = -1,
3
2
⎤
⎥
3
−
1
,
P
=
⎥
⎥
−
1
41
⎦
n×n
1
0
0
⎡
⎤
⎢
⎥
0
1
0
.
⎢
⎥
⎢
⎥
0
0
1
⎣
⎦
Page. 11-38
, au
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