Table des Matières
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L'interprétation du tableau de variations présenté ci-dessus est la suivante : la
fonction F(X) augmente pour X dans l'intervalle (-∞, -1), atteignant un maximum
égal à 36 à X = -1. Puis, F(X) diminue jusqu'à X = 11/3, atteignant un
minimum de -400/27. Après cela, F(X) augmente jusqu'à +∞. De même, à X =
±∞, F(X) = ±∞.
Utilisation de dérivées pour calculer les points extrêmes
Les « points extrêmes » désignent les valeurs minimale et maximale d'une
fonction dans un intervalle donné. Dans la mesure où la dérivée d'une fonction
à un point donné représente la pente d'une tangente à la courbe en ce point,
les valeurs de x pour lesquelles f'(x) =0 représentent les points où le graphique
de la fonction atteint un maximum ou un minimum. De plus, la valeur de la
dérivée seconde de la fonction, f"(x), en ces points détermine si le point est un
maximum relatif [f"(x)<0] ou un minimum relatif ou local [f"(x)>0]. Ces idées
sont illustrées dans la figure ci-dessous.
Dans cette figure, nous nous limitons à déterminer les points extrêmes de la
fonction y = f(x) dans l'intervalle x [a,b]. Dans cet intervalle, on trouve deux
points, x = x
et x = x
, ,auxquels f'(x)=0. Le point x = x
, où f"(x)>0,
m
M
m
représente un minimum local, alors que le point x = x
, où f"(x)<0, représente
M
un maximum local. Pour le graphique de y = f(x), il s'ensuit que le maximum
absolu dans l'intervalle [a,b] se situe à x = a, alors que le minimum absolu se
situe à x = b.
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