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le type d'ODE correspondant à ce cas.
Transformations de Laplace
La transformation de Laplace d'une fonction f(t) produit une fonction F(s) dans
le domaine image qui peut être utilisée pour résoudre, grâce à des méthodes
algébriques, une équation différentielle linéaire impliquant f(t) . Les étapes à
suivre dans cette application sont au nombre de trois :
1.
L'utilisation de la transformation de Laplace convertit une ODE linéaire
impliquant f(t) en équation algébrique.
2.
L'inconnue F(s) est trouvée dans le domaine image grâce à une
manipulation algébrique.
3.
Une transformation de Laplace inversée est utilisée pour convertir la
fonction image trouvée à la deuxième étape en solution de l'équation
différentielle f(t).
Définitions
La Transformation de Laplace de la fonction f(t) est la définition F(s) définie
comme
La variable image s peut être, et est généralement, un nombre complexe.
De nombreuses applications pratiques de la transformation de Laplace
impliquent une fonction initiale f(t) où t représente le temps, c'est-à-dire des
systèmes de contrôle de circuits électriques ou hydrauliques. Dans la plupart
des cas, on est intéressé par une réponse du système après un temps t>0 et, par
conséquent, la définition de la transformation de Laplace donnée ci-dessus
implique une intégration pour des valeurs de t supérieures à zéro.
La transformation de Laplace inverse calque la fonction F(s) sur la fonction
initiale f(t) dans le domaine temporel, tel que L
L
{ ( )}
=
( )
f t
F s
Linear w/ cst coeff
∞
∫
−
st
=
( )
⋅
f t e dt
0
-1
{F(s)} = f(t).
" pour
.
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