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et ainsi le décrément logarithmique Λ:
1
Λ = ⋅
δ
= ⋅
T
In
d
n
En remplaçant δ = Λ / T
, ω
d
dans l'équation
ω
=
ω
2
−
δ
2
d
0
on obtient :
Λ
2
=
⋅
+
T
T
1
d
0
π
2
4
ce qui permet de calculer avec précision la durée d'une
période T
, dans la mesure où l'on connaît T
d
3.4 Oscillation tournante forcée
En présence d'oscillations tournantes forcées, un cou-
ple modifiable périodiquement par une fonction si-
nusoïdale agit de l'extérieur sur le système oscillant.
Ce couple d'excitation doit être complété dans l'équa-
tion de mouvement
..
.
⋅ + ⋅ + ⋅ =
ϕ
ϕ
ϕ
J
b
D
Après une certaine période transitoire, le pendule tour-
nant oscille dans un état stationnaire à la même fré-
quence angulaire que l'excitateur, ω
être déphasé par rapport à ω
de phase nulle du système, le déphasage entre le sys-
tème oscillant et l'excitateur.
ϕ =
· sin ( ω
· t – Ψ
ϕ
S
E
Pour l'amplitude du système
vante :
M
E
J
ϕ
=
2 2
2
ω
ω
−
) +
(
0
E
Pour le rapport entre l'amplitude du système et celle
de l'excitateur, on a l'équation suivante :
ϕ
S
=
ϕ
E
ω
−
E
1
ω
0
= ω
En cas de résonance (ω
E
sont pas amorties, l'amplitude augmente théorique-
ment jusqu'à l'infini et entraîne une « catastrophe de
résonance ».
Si les oscillations sont amorties et l'amortissement pas
trop important, l'amplitude du système est maximale,
la fréquence angulaire de l'excitateur ω
rieure à la fréquence angulaire propre du système.
ϕ
ϕ
n
n
=
In
ϕ
ϕ
0
n+1
= 2 π / T
et ω
= 2 π / T
0
0
d
.
0
⋅
ω
⋅
(
)
M
sin
t
E
E
pouvant encore
E
. Ψ
représente l'angle
0
0S
)
0S
ϕ
, on a l'équation sui-
S
2
2
δ
ω
⋅
4
E
M
E
J
2 2
2
2
δ
ω
+
⋅
E
4
ω
ω
0
0
), si les oscillations ne
0
étant infé-
E res
Cette fréquence résulte de
ω
=
Eres
Si l'amortissement est trop important, l'amplitude
d
n'augmente pas.
L'équation suviante s'applique à l'angle de phase nulle
du système Ψ
:
0S
Ψ
=
arctan
0S
Si ω
= ω
(résonance), l'angle de phase nulle du sys-
E
0
tème Ψ
= 90°. Ceci s'applique également pour δ = 0
0S
avec un passage correspondant à la limite.
Avec des oscillations amorties (δ > 0) et ω
obtient 0° ≤ Ψ
0S
Ψ
≤ 180°.
0S
Avec des oscillations amorties (δ = 0), Ψ
et Ψ
= 180° à ω
0S
4.1 Oscillation tournante amortie libre
• Relier le frein à courants de Foucault à la sortie de
tension réglable de l'alimentation du pendule tour-
nant.
• Connecter l'ampèremètre au circuit électrique.
• Déterminer la constante d'amortissement en fonc-
tion du courant.
4.2 Oscillation tournante forcée
• Relier les douilles de connexion (16) du moteur
excitateur à la sortie de tension fixe de l'alimenta-
tion du pendule tournant.
• Relier le voltmètre aux douilles de connexion (15)
du moteur excitateur.
• Déterminer l'amplitude de l'oscillation en fonction
de la fréquence de l'excitateur et de la tension d'ali-
mentation.
• Au besoin, relier le frein à courants de Foucault à
la sortie destinée à la tension réglable de l'alimen-
tation du pendule tournant.
4.3 Oscillations chaotiques
• Pour générer des oscillations chaotiques, on peut
utiliser les 4 masses supplémentaires qui permet-
tent de modifier le couple de rappel linéaire du
pendule tournant.
• Visser pour cela la masse au corps du pendule (5).
13
δ
2
2
ω
⋅
−
1
0
ω
2
0
2 δ ω
ω
−
ω
2
2
ω
0
≤ 90°, avec ω
> ω
on obtient 90° ≤
E
0
= 0° à ω
0S
> ω
.
E
0
4. Manipulation
< ω
, on
E
0
< ω
E
0
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