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ANNEXE 5 Exercice sur le viscosimètre de Couette
Un fluide incompressible de masse volumique et de viscosité absolue est introduit dans l'interstice
entre deux longs cylindres coaxiaux d'axe Oz de rayons R1 et R2 ( R2 >R1) et de hauteur h ( h>> R1,R2) Le
cylindre extérieur est immobile et on impose au cylindre intérieur un mouvement de rotation uniforme à
raison de N tours/seconde.
On négligera l'action de la pesanteur et on admettra que le régime d'écoulement est stationnaire.
1. Montrer que le champ de vitesses du fluide en M est orthoradial et ne dépend que de la distance r de M à
l'axe Oz des cylindres.
2. Montrer que le champ de vitesses du fluides obéit à l'équation différentielle :
dv(r)/dr + v(r) / r = constante.
3. Exprimer la vitesse angulaire (r) du fluide en rotation en fonction de r , et des données N, R1 et R2.
4. Pour maintenir la vitesse de rotation du cylindre extérieur constante ( N = 90 t.mn) n, il faut appliquer un
couple = 1.28 10
N.m. On donne R1 = 8,0 cm, R2 = 8.4 cm, h = 30 cm, = 860 kg.m
-2
viscosité du fluide.
5. Calculer le nombre de Reynolds de l'écoulement étudié. Cet écoulement est -il laminaire ?
On donne les opérateurs en coordonnées cylindriques ( A = vecteur )
a
1
1
div
a
ra
r
r
r
r
a
1
z
ra
r
z
a
a
r
z
rot
a
z
r
a
1
r
ra
r
r
1) Invariance par rotation => v indt de et P indépendant de
et invariance par translation selon Oz => v indt de z et vz =0
fluide incompressible =>
or en r= R
, v(R1)= 0 => constante = 0 => v
1
Dv
2) Equation de NS =>
Dt
v
0
Et stationnaire, et On calcule :
t
e
Donc, en projection sur
a
z
z
(
rv
)
1
r
0
div
v
r
r
(r) = 0
r
v
grad P
(v.grad)v
t
v.grad v rot v v
2
v
1
0
(
r
2
r
r
v
v
(
rv
)
1
1
z
r
r
z
r
r
v
v
r (
u )
donc
v
2
v
e
r
r
v
v
) avec
2
r
r
-3
. Calculer la
=>
rv
(
) r
cons
tan
te
r
2
grad P
v
v
e
r
7
r
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